Calcolo Esempi

$\ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{y}$ .

$1 \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $1$ .

$\frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y}{x} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{1}{x}$