Calcolo Esempi

$\ln (x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 7

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 8

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ per $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 9.2

Sposta $x^{\frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}$

Passaggio 10

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $x^{\frac{5}{2}}$ per $x^{- \frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.1.1

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{2 (x^{- \frac{3}{2}} x^{\frac{5}{2}})}$

Passaggio 10.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{2 x^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}}}$

Passaggio 10.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5}{2 x^{\frac{- 3 + 5}{2}}}$

Passaggio 10.1.4

Somma $- 3$ e $5$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 10.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{5}{2 x^{1}}$

Passaggio 10.2

Semplifica $2 x^{1}$ .

$\frac{5}{2 x}$