Calcolo Esempi

$\ln (\sqrt[5]{x^{2} + 1})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 7.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 9

$\frac{1}{5}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 10

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}}$ per $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 12

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}$ per ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.1

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{1}{5 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 12.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 12.4

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 12.5

Dividi $5$ per $5$ .

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 13

Semplifica $5 {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 14

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 16

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x + 0)$

Passaggio 17

Riduci le frazioni.

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Passaggio 17.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x)$

Passaggio 17.2

$2$ e $\frac{1}{5 (x^{2} + 1)}$ .

$\frac{2}{5 (x^{2} + 1)} x$

Passaggio 17.3

$\frac{2}{5 (x^{2} + 1)}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{5 (x^{2} + 1)}$