Calcolo Esempi

$\ln (\sqrt{x} + 2)$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}} + 2)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{1}{2}} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 8.3

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Passaggio 10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.1

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2}$ per $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 10.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{1}{2 \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 2) x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{(2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 11.3.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.3.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3.2

Semplifica $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2 x + 4 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.4

Scomponi $2 x^{\frac{1}{2}}$ da $2 x + 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 11.4.1

Scomponi $2 x^{\frac{1}{2}}$ da $2 x$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.4.2

Scomponi $2 x^{\frac{1}{2}}$ da $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (2)}$

Passaggio 11.4.3

Scomponi $2 x^{\frac{1}{2}}$ da $2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (2)$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}$