Calcolo Esempi

$\ln (- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = - x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.8

Poiché $135$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $135 x$ rispetto a $x$ è $135 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.10

Moltiplica $135$ per $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + 0)$

Passaggio 2.12

Somma $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ e $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$ .

$(- 3 x^{2} + 12 x + 135) \frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ per $\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.3.1.2

Scomponi $3$ da $12 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.3.1.3

Scomponi $3$ da $135$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.3.1.4

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2}) + 3 (4 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.3.1.5

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.3.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 45 = - 45$ e la cui somma è $b = 4$ .

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Passaggio 3.3.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 4 (x) + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi $4$ come $- 5$ più $9$ .

$\frac{3 (- x^{2} + (- 5 + 9) x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (- x^{2} - 5 x + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.3.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{3 ((- x^{2} - 5 x) + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{3 (x (- x - 5) - 9 (- x - 5))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 5$ .

$\frac{3 ((- x - 5) (x - 9))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.7

Riscrivi $- (x + 5)$ come $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Passaggio 3.9

Scomponi $- 1$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

Passaggio 3.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3}) - (- 6 x^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

Passaggio 3.11

Scomponi $- 1$ da $135 x$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x) + 1}$

Passaggio 3.12

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) + 1}$

Passaggio 3.13

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)}$

Passaggio 3.14

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

Passaggio 3.15

Riscrivi $- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ come $- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

Passaggio 3.16

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

Passaggio 3.17

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (x + 5) (x - 9)}{x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1}$