Calcolo Esempi

$\ln (x^{2} + 5 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 5 x$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x} (2 x + 5 \cdot 1)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x} (2 x + 5)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{2} + 5 x} (2 x + 5)$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{x^{2} + 5 x}$

Passaggio 3.2

Scomponi $x$ da $x^{2} + 5 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{x \cdot x + 5 x}$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x$ da $5 x$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 5}$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{x (x + 5)}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2 x + 5$ per $\frac{1}{x (x + 5)}$ .

$\frac{2 x + 5}{x (x + 5)}$