Calcolo Esempi

$\ln (x^{2} + 3 x - 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 3 x - 1$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 1]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 1]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3 x - 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 1]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1} (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1} (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1} (2 x + 3 + 0)$

Passaggio 2.7

Somma $2 x + 3$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1} (2 x + 3)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1} (2 x + 3)$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{x^{2} + 3 x - 1}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2 x + 3$ per $\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1}$ .

$\frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x - 1}$