Calcolo Esempi

$\ln (1 + e^{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + e^{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} e^{x}$

Passaggio 4

$\frac{1}{1 + e^{x}}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$