Calcolo Esempi

$\ln (\frac{e}{e - x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{e}{e - x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{1}{\frac{e}{e - x}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{e}{e - x}$ .

$1 \frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{e - x}{e}$ per $1$ .

$\frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Passaggio 3.2

Poiché $e$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{e}{e - x}$ rispetto a $x$ è $e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$ .

$\frac{e - x}{e} (e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}])$

Passaggio 3.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.3.1

$e$ e $\frac{e - x}{e}$ .

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $e$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $e - x$ per $1$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\frac{1}{e - x}$ come ${(e - x)}^{- 1}$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [{(e - x)}^{- 1}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = e - x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $e - x$ .

$(e - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e - x])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$(e - x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e - x$ .

$(e - x) (- {(e - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Passaggio 5

Eleva $e - x$ alla potenza di $1$ .

$- ({(e - x)}^{1} {(e - x)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [e - x]$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- {(e - x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [e - x]$

Passaggio 7

Sottrai $2$ da $1$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [e - x]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $e - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 9

Poiché $e$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Moltiplica.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12.2

Moltiplica ${(e - x)}^{- 1}$ per $1$ .

${(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(e - x)}^{- 1} \cdot 1$

Passaggio 14

Moltiplica ${(e - x)}^{- 1}$ per $1$ .

${(e - x)}^{- 1}$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e - x}$

Passaggio 15.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{- x + e}$

Passaggio 15.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{1}{- (x) + e}$

Passaggio 15.4

Scomponi $- 1$ da $e$ .

$\frac{1}{- (x) - 1 (- e)}$

Passaggio 15.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- e)$ .

$\frac{1}{- (x - e)}$

Passaggio 15.6

Riscrivi $- (x - e)$ come $- 1 (x - e)$ .

$\frac{1}{- 1 (x - e)}$

Passaggio 15.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x - e}$