Calcolo Esempi

$\ln (\sqrt{3 x^{2} - 1})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x^{2} - 1}$ come ${(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 x^{2} - 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1])$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(3 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1])$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e ${(3 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1])$

Passaggio 10

Sposta ${(3 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1])$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{1}{2 {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{{(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Passaggio 12

Moltiplica ${(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.1

Sposta ${(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Passaggio 12.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Passaggio 12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Passaggio 12.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Passaggio 12.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2 {(3 x^{2} - 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Passaggio 13

Semplifica $2 {(3 x^{2} - 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (3 x^{2} - 1)} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Passaggio 14

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 (3 x^{2} - 1)} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 15

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (3 x^{2} - 1)} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (3 x^{2} - 1)} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 17

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{2 (3 x^{2} - 1)} (6 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 18

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 (3 x^{2} - 1)} (6 x + 0)$

Passaggio 19

Semplifica i termini.

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Passaggio 19.1

Somma $6 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 (3 x^{2} - 1)} (6 x)$

Passaggio 19.2

$6$ e $\frac{1}{2 (3 x^{2} - 1)}$ .

$\frac{6}{2 (3 x^{2} - 1)} x$

Passaggio 19.3

$\frac{6}{2 (3 x^{2} - 1)}$ e $x$ .

$\frac{6 x}{2 (3 x^{2} - 1)}$

Passaggio 19.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

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Passaggio 19.4.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (3 x^{2} - 1)}$

Passaggio 19.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 19.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x)}{2 (3 x^{2} - 1)}$

Passaggio 19.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x}{3 x^{2} - 1}$