Calcolo Esempi

$\ln (\frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$x^{2} (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- 3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $x^{- 3}$ .

$x^{- 3} x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{- 3 + 2} \cdot - 2$

Passaggio 5.3

Somma $- 3$ e $2$ .

$x^{- 1} \cdot - 2$

Passaggio 6

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{- 1}$ .

$- 2 \cdot x^{- 1}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x}$

Passaggio 7.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 2}{x}$

Passaggio 7.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x}$