Calcolo Esempi

$\ln (\frac{1}{\ln (x)})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{1}{\ln (x)}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{1}{\ln (x)}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{1}{\ln (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\ln (x)}$ .

$1 \ln (x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{\ln (x)}$ come $\ln^{- 1} (x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\ln (x)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\ln (x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (x)$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 5

Eleva $\ln (x)$ alla potenza di $1$ .

$- (\ln^{1} (x) \ln^{- 2} (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- {\ln (x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 7

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \ln^{- 1} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 8

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$- \ln^{- 1} (x) \frac{1}{x}$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.1

$\frac{1}{x}$ e $\ln^{- 1} (x)$ .

$- \frac{\ln^{- 1} (x)}{x}$

Passaggio 9.2

Sposta $\ln^{- 1} (x)$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x \ln (x)}$