Calcolo Esempi

$\int \cos (\ln (x)) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

$\int e^{u} \cos (u) d u$

Passaggio 2

Riordina $e^{u}$ e $\cos (u)$ .

$\int \cos (u) e^{u} d u$

Passaggio 3

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = \cos (u)$ e $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ per $1$ .

$\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Passaggio 5.3

Riordina $e^{u}$ e $\sin (u)$ .

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

Passaggio 6

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = \sin (u)$ e $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Passaggio 7

Risolvendo $\int e^{u} \cos (u) d u$ , troviamo che $\int e^{u} \cos (u) d u$ = $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}$ .

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$

Passaggio 8

Riscrivi $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$ come $\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Passaggio 10.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$