Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (\frac{x^{2} - 7}{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x^{2} - 7}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$1 \frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x}{x^{2} - 7}$ per $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 7$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 7] - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.3

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $\frac{x}{x^{2} - 7}$ per $\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{(x^{2} - 7) x^{2}}$

Passaggio 12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.1

Scomponi $x$ da $(x^{2} - 7) x^{2}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

Passaggio 12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{(x^{2} - 7) x}$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{(x^{2} - 7) x}$

Passaggio 13.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{x^{2} x - 7 x}$

Passaggio 13.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

Passaggio 13.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

Passaggio 13.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 13.4.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 13.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x^{1} - 7 x}$

Passaggio 13.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2 + 1} - 7 x}$

Passaggio 13.4.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{3} - 7 x}$

Passaggio 13.5

Scomponi $x$ da $x^{3} - 7 x$ .

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Passaggio 13.5.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} - 7 x}$

Passaggio 13.5.2

Scomponi $x$ da $- 7 x$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 7}$

Passaggio 13.5.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 7$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x (x^{2} - 7)}$