Calcolo Esempi

$f (x) = x \ln (\arctan (x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\arctan (x))$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (\arctan (x))] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \arctan (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\arctan (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\arctan (x)$ .

$x (\frac{1}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

$\frac{1}{\arctan (x)}$ e $x$ .

$\frac{x}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{x}{\arctan (x)}$ per $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \cdot 1$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\ln (\arctan (x))$ per $1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x}{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\arctan (x)$ per $1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $\ln (\arctan (x))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \frac{\ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Passaggio 6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + \ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$\frac{(\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}) \ln (\arctan (x)) + x}{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)}$