Calcolo Esempi

$f (x) = x \cos (\frac{1}{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (\frac{1}{x})$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{x})] + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$x (- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$x (- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x (- \sin (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Moltiplica.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (1 \sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $\sin (\frac{1}{x})$ per $1$ .

$x (\sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{- 2} x^{1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{- 2 + 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6

Somma $- 2$ e $1$ .

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \cdot 1$

Passaggio 8

Moltiplica $\cos (\frac{1}{x})$ per $1$ .

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x})$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{x}$ e $\sin (\frac{1}{x})$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{x})}{x} + \cos (\frac{1}{x})$