Calcolo Esempi

$f (x) = y \sqrt{x} - x \sqrt{y} - 16$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y \sqrt{x} - x \sqrt{y} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{d}{d x} [y \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [y \sqrt{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [y x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$y (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 2.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$y \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 2.10

$y$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x \sqrt{y}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- \sqrt{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x \sqrt{y}$ rispetto a $x$ è $- \sqrt{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{y} + \frac{d}{d x} [- 16]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{y} + 0$

Passaggio 4.2

Somma $\frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{y}$ e $0$ .

$\frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{y}$