Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x) \cdot \ln (2 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (2 x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{2 x}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (x)}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.3.1

$2$ e $\frac{\ln (x)}{2 x}$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \ln (x)}{2 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{\ln (x)}{x}$ per $1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (2 x) \frac{1}{x}$

Passaggio 5

$\ln (2 x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \frac{\ln (2 x)}{x}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (x) + \ln (2 x)}{x}$

Passaggio 6.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x (2 x))}{x}$

Passaggio 6.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\ln (2 x \cdot x)}{x}$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{\ln (2 (x \cdot x))}{x}$

Passaggio 6.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\ln (2 x^{2})}{x}$