Calcolo Esempi

$x \ln (2 x + 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{2 x + 1}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.7.2

$\frac{x}{2 x + 1}$ e $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1$

Passaggio 3.9

Moltiplica $\ln (2 x + 1)$ per $1$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1)$

Passaggio 4

Per scrivere $\ln (2 x + 1)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2 x + 1}$

Passaggio 6.1.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2 x + 1}$

Passaggio 6.1.1.3

Moltiplica $\ln (2 x + 1)$ per $1$ .

$\frac{2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Passaggio 6.1.1.4

Semplifica $2 \ln (2 x + 1)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Passaggio 6.1.2

Riordina i fattori in $2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x + x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Passaggio 6.2

Riordina i termini.

$\frac{x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + 2 x + \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$