Calcolo Esempi

$y = (1 - x) {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 - x$ e $g (x) = {(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}] + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + x^{2}$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$(1 - x) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$(1 - x) (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 - x) (- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 - x) (- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 - x) (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(1 - x) (- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) + {(1 + x^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

Passaggio 3.11.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) - 1 \cdot {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Passaggio 3.11.3

Riscrivi $- 1 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ come $- {(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - x) (- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x) - {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - x) (- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x) - {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - x) (- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x) - \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$(1 - x) (\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x) - \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(1 - x) (- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x) - \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.3.3

$x$ e $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$(1 - x) (- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$(1 - x) (- \frac{2 \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.3.5

Per scrivere $(1 - x) (- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$(1 - x) (- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}) \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.3.6

$(1 - x) (- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}})$ e $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{(1 - x) (- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 - x) (- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}) (1 + x^{2}) - 1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$\frac{- (1 + x^{2}) (1 - x) \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi $- 1$ da $- (1 + x^{2}) (1 - x) \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1.1

Riordina $1$ e $x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2} + 1) (1 - x) \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.1.1.2

Riordina $1$ e $- x$ .

$\frac{- (x^{2} + 1) (- x + 1) \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} - 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.1.1.3

Riordina $1$ e $x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2} + 1) (- x + 1) \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.1.2

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} + 1) (- x + 1) \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- (((x^{2} + 1) (- x + 1)) \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}) - 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.1.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (((x^{2} + 1) (- x + 1)) \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (((x^{2} + 1) (- x + 1)) \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (((x^{2} + 1) (- x + 1)) \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{- ((x^{2} + 1) (- x + 1) \frac{2 x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)} + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- ((x^{2} + 1) (- x + 1) \frac{2 x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)} + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- ((- x + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $- x + 1$ per $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- (\frac{(- x + 1) (2 x)}{x^{2} + 1} + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.4

Sposta $2$ alla sinistra di $- x + 1$ .

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- x + 1) x}{x^{2} + 1} + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- (\frac{2 (- x + 1) x}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1})}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{2 (- x + 1) x + x^{2} + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.7

Riordina i termini.

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 x (- x + 1) + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.8

Riscrivi $\frac{x^{2} + 2 x (- x + 1) + 1}{x^{2} + 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 x (- x) + 2 x \cdot 1 + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.8.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 \cdot - 1 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.8.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 \cdot - 1 x \cdot x + 2 x + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.8.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.8.4.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.8.4.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 \cdot - 1 (x \cdot x) + 2 x + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.8.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.8.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} - 2 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.8.5

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2} + 1}$ per $\frac{- x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 1}$ .

$- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.7.2

Eleva $x^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{1} (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.7.3

Eleva $x^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Passaggio 4.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- \frac{- (x^{2}) + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$- \frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- \frac{- (x^{2} - 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.11

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.12

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.13

Riscrivi $- (x^{2} - 2 x - 1)$ come $- 1 (x^{2} - 2 x - 1)$ .

$- \frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.16

Moltiplica $\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$