Calcolo Esempi

$y = (x^{2} - 1) (x^{3} + 3)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{3} + 3$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3] + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(x^{2} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$(x^{2} - 1) (3 x^{2}) + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 2.4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} - 1$ .

$3 \cdot (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (2 x + 0)$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + (x^{3} + 3) (2 x)$

Passaggio 2.8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3} + 3$ .

$3 (x^{2} - 1) x^{2} + 2 \cdot (x^{3} + 3) x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x^{2} + 3 \cdot - 1) x^{2} + 2 (x^{3} + 3) x$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 (x^{3} + 3) x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + (2 x^{3} + 2 \cdot 3) x$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Passaggio 3.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Passaggio 3.5.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Passaggio 3.5.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$3 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{3} x + 2 \cdot 3 x$

Passaggio 3.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 (x^{1} x^{3}) + 2 \cdot 3 x$

Passaggio 3.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{1 + 3} + 2 \cdot 3 x$

Passaggio 3.5.5

Somma $1$ e $3$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{4} + 2 \cdot 3 x$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{4} + 6 x$

Passaggio 3.5.7

Somma $3 x^{4}$ e $2 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 3 x^{2} + 6 x$