Calcolo Esempi

$y = (x^{2} + \sin (x)) \sec (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} + \sin (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$(x^{2} + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (x)]$

Passaggio 2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$(x^{2} + \sin (x)) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (x)]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$(x^{2} + \sin (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} \sec (x) + \sin (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \cos (x))$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x) + \sec (x) \cos (x)$

Passaggio 5.4

Riordina i termini.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$x^{2} \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.2

$x^{2}$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.3

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.4

Combina.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.5.5.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.5.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.6

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.8

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.9

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 5.5.9.1

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.9.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.9.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.9.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.9.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.9.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.9.7

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.9.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.9.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 x \sec (x) + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.10

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 x \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.11

Moltiplica $2 x \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 5.5.11.1

$2$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + x \frac{2}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.11.2

$x$ e $\frac{2}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{x \cdot 2}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.12

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \cdot x}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x)$

Passaggio 5.5.13

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 5.5.13.1

Riordina $\cos (x)$ e $\sec (x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + \sec (x) \cos (x)$

Passaggio 5.5.13.2

Riscrivi $\cos (x) \sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)$

Passaggio 5.5.13.3

Elimina i fattori comuni.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.6.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

Passaggio 5.6.2

Frazioni separate.

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

Passaggio 5.6.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

Passaggio 5.6.4

Frazioni separate.

$\frac{x^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

Passaggio 5.6.5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{x^{2}}{1} \sec (x) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

Passaggio 5.6.6

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

Passaggio 5.6.7

Converti da $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ a $\tan^{2} (x)$ .

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} + 1$

Passaggio 5.7

Sposta $1$ .

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) + 1 + \frac{2 x}{\cos (x)}$

Passaggio 5.8

Applica l'identità pitagorica.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)}$