Calcolo Esempi

$y = (\sqrt[5]{x} - 2 \sqrt[4]{x} + 1) (x^{3} - 5 x - 7)$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x}$ come $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{5}} - 2 \sqrt[4]{x} + 1) (x^{3} - 5 x - 7)]$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x}$ come $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (x^{3} - 5 x - 7)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1$ e $g (x) = x^{3} - 5 x - 7$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x - 7] + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 5 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Passaggio 3.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Passaggio 3.6

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 + 0) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Passaggio 3.7

Somma $3 x^{2} - 5$ e $0$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 7.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{5}$ e $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 8.3

Sposta $x^{- \frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 9

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{\frac{1}{4}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{4}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 11

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 12

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 14.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 16

$\frac{1}{4}$ e $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 17

$- 2$ e $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 18

Sposta $x^{- \frac{3}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 2}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 19

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 20

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 20.1

Scomponi $2$ da $4 x^{\frac{3}{4}}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 20.2

Elimina il fattore comune.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 20.3

Riscrivi l'espressione.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 22

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}} + 0)$

Passaggio 23

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 23.1

Somma $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}}$ e $0$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}})$

Passaggio 23.2

Riordina i termini.

$(3 x^{2} - 5) (x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}})$