Calcolo Esempi

$y = (3 x^{2} - 2 x + 3) (1 - 4 x - x^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 3$ e $g (x) = 1 - 4 x - x^{2}$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [1 - 4 x - x^{2}] + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 4 x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Passaggio 2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - (2 x)) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Passaggio 2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.13

Moltiplica $2$ per $3$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.14

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.16

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.17

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2 + 0)$

Passaggio 2.18

Somma $6 x - 2$ e $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $1$ da $(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1$ da $(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x)$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x)) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $1$ da $(1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x)) + 1 ((1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2))$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $1$ da $1 ((3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x)) + 1 ((1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2))$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2))$

Passaggio 3.2

Moltiplica $(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$ per $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$(- 4 - 2 x) (3 x^{2} - 2 x + 3) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Espandi $(- 4 - 2 x) (3 x^{2} - 2 x + 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$- 4 (3 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 3 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$- 12 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 3 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 4 \cdot 3 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2.3

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 2 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2.5

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 2 \cdot 3 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 2 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 2 \cdot 3 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 2 \cdot 3 x^{3} - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2.6

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2.8

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.8.1

Sposta $x$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2.8.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2.9

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.2.10

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.3

Somma $- 12 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$- 8 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} - 6 x + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.4

Sottrai $6 x$ da $8 x$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Passaggio 3.4.5

Espandi $(1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 2 - 4 x (6 x) - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Moltiplica $6 x$ per $1$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x + 1 \cdot - 2 - 4 x (6 x) - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 4 x (6 x) - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 4 \cdot 6 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.4.1

Sposta $x$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 4 \cdot 6 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 4 \cdot 6 x^{2} - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6.5

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6.6

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 6 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.8.1

Sposta $x$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 6 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 6 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 6 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6.9

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 3.4.6.10

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 6 x^{3} + 2 x^{2}$

Passaggio 3.4.7

Somma $6 x$ e $8 x$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 14 x - 2 - 24 x^{2} - 6 x^{3} + 2 x^{2}$

Passaggio 3.4.8

Somma $- 24 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 14 x - 2 - 6 x^{3} - 22 x^{2}$

Passaggio 3.5

Sottrai $22 x^{2}$ da $- 8 x^{2}$ .

$- 30 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 14 x - 2 - 6 x^{3}$

Passaggio 3.6

Somma $2 x$ e $14 x$ .

$- 30 x^{2} + 16 x - 12 - 6 x^{3} - 2 - 6 x^{3}$

Passaggio 3.7

Sottrai $2$ da $- 12$ .

$- 30 x^{2} + 16 x - 6 x^{3} - 14 - 6 x^{3}$

Passaggio 3.8

Sottrai $6 x^{3}$ da $- 6 x^{3}$ .

$- 30 x^{2} + 16 x - 12 x^{3} - 14$