Calcolo Esempi

$y = {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = (x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 2 x^{3}$ e $g (x) = 6 x - 3$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [6 x - 3] + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Passaggio 3.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Passaggio 3.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 + 0) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $6$ e $0$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) \cdot 6 + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Passaggio 3.6.2

Sposta $6$ alla sinistra di $x - 2 x^{3}$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 \cdot (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]))$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]))$

Passaggio 3.9

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]))$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 2 (3 x^{2})))$

Passaggio 3.11

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ .

$4 ({(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3}) (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 ({(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3}) (6 x + 6 (- 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$4 {(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori di $4 {(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$ .

$4 {(6 x - 3)}^{3} {(x - 2 x^{3})}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$