Calcolo Esempi

$y = (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 4 x - 1$ e $g (x) = {(3 x + 1)}^{4}$ .

$(4 x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}] + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 x + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x + 1$ .

$(4 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$(4 x - 1) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 1$ .

$(4 x - 1) (4 {(3 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $4 x - 1$ .

$4 \cdot (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1] + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 + 0) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} \cdot 3 + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.11

Moltiplica $4$ per $1$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 + 0)$

Passaggio 3.13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.13.1

Somma $4$ e $0$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} \cdot 4$

Passaggio 3.13.2

Sposta $4$ alla sinistra di ${(3 x + 1)}^{4}$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 \cdot {(3 x + 1)}^{4}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(12 (4 x) + 12 \cdot - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $4$ per $12$ .

$(48 x + 12 \cdot - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Passaggio 4.4

Scomponi ${(3 x + 1)}^{3}$ da $(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi ${(3 x + 1)}^{3}$ da $(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3}$ .

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Passaggio 4.4.2

Scomponi ${(3 x + 1)}^{3}$ da $4 {(3 x + 1)}^{4}$ .

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + {(3 x + 1)}^{3} (4 (3 x + 1))$

Passaggio 4.4.3

Scomponi ${(3 x + 1)}^{3}$ da ${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + {(3 x + 1)}^{3} (4 (3 x + 1))$ .

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12 + 4 (3 x + 1))$