Calcolo Esempi

$\sin (4 x) \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (4 x)$ e $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

$\sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (x)$ .

$\sin (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\sin (4 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$\sin (4 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (4 x)$ .

$2 \cdot \sin (4 x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 \sin (4 x) \cos (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 6.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 7

Differenzia.

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Passaggio 7.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Passaggio 7.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) \cdot 4$

Passaggio 7.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos^{2} (x) \cos (4 x)$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + 4 \cdot (\cos^{2} (x) \cos (4 x))$

Passaggio 7.3.3

Riordina i termini.

$- 2 \cos (x) \sin (x) \sin (4 x) + 4 \cos^{2} (x) \cos (4 x)$