Calcolo Esempi

$\tan (x) (4 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 5 \cos (x)] + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\tan (x) (4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 (- \sin (x))) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 6

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 7

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 8.3

Sposta $4$ alla sinistra di $\tan (x)$ .

$4 \tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 8.4

Riordina i termini.

$4 \cos (x) \tan (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.5.1

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 8.5.1.1

Aggiungi le parentesi.

$4 (\cos (x) \tan (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.1.2

Riordina $\cos (x)$ e $\tan (x)$ .

$4 (\tan (x) \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.1.3

Riscrivi $4 \cos (x) \tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.1.4

Elimina i fattori comuni.

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.2

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.3

Moltiplica $- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 8.5.3.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $- 5$ .

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.3.2

$\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.3.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.3.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.5

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.8

$4$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.9

$\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 8.5.10

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Passaggio 8.5.11

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Passaggio 8.5.12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Passaggio 8.5.13

$5$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Passaggio 8.5.14

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 8.5.14.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Passaggio 8.5.14.2

Elimina il fattore comune.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Passaggio 8.5.14.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x)}$

Passaggio 8.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x) + 5}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.7

Riordina $- 5 \sin^{2} (x)$ e $5$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.8

Scomponi $5$ da $5$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.9

Scomponi $5$ da $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.10

Scomponi $5$ da $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.11

Applica l'identità pitagorica.

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.12

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ e $\cos (x)$ .

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Passaggio 8.12.1

Scomponi $\cos (x)$ da $5 \cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.12.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.12.2.1

Moltiplica per $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos (x)}{1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.12.2.4

Dividi $5 \cos (x)$ per $1$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 8.13

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.13.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 8.13.2

Frazioni separate.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8.13.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \tan (x)$

Passaggio 8.13.4

Frazioni separate.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Passaggio 8.13.5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 8.13.6

Dividi $4$ per $1$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + 4 \sec (x) \tan (x)$