Calcolo Esempi

$x {(9 - x)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(9 - x)}^{2}$ come $(9 - x) (9 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((9 - x) (9 - x))]$

Passaggio 2

Espandi $(9 - x) (9 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (9 (9 - x) - x (9 - x))]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (9 \cdot 9 + 9 (- x) - x (9 - x))]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (9 \cdot 9 + 9 (- x) - x \cdot 9 - x (- x))]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $9$ per $9$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 + 9 (- x) - x \cdot 9 - x (- x))]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - x \cdot 9 - x (- x))]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - x (- x))]$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x + 1 x^{2})]$

Passaggio 3.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x + x^{2})]$

Passaggio 3.2

Sottrai $9 x$ da $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 18 x + x^{2})]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 81 - 18 x + x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [81 - 18 x + x^{2}] + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $81 - 18 x + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.2

Poiché $81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.4

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 x$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$x (- 18 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (- 18 + 2 x) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- 18 + 2 x) + (81 - 18 x + x^{2}) \cdot 1$

Passaggio 5.9

Moltiplica $81 - 18 x + x^{2}$ per $1$ .

$x (- 18 + 2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot - 18 + x (2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.2.1

Sposta $- 18$ alla sinistra di $x$ .

$- 18 \cdot x + x (2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Passaggio 6.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 18 x + 2 (x^{1} x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Passaggio 6.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 18 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 81 - 18 x + x^{2}$

Passaggio 6.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 18 x + 2 x^{1 + 1} + 81 - 18 x + x^{2}$

Passaggio 6.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$- 18 x + 2 x^{2} + 81 - 18 x + x^{2}$

Passaggio 6.2.6

Sottrai $18 x$ da $- 18 x$ .

$- 36 x + 2 x^{2} + 81 + x^{2}$

Passaggio 6.2.7

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$- 36 x + 3 x^{2} + 81$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$3 x^{2} - 36 x + 81$