Calcolo Esempi

$x \cdot \sqrt{8 x - x^{2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{8 x - x^{2}}$ come ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 8 x - x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}] + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - (2 x)) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 15

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 17

Moltiplica ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Riordina i termini.

$(8 - 2 x) \frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 18.2.1

Moltiplica $8 - 2 x$ per $\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(8 - 2 x) x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.2.2

Scomponi $2$ da $(8 - 2 x) x$ .

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.2.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 18.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 ({(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(4 - x) x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.3

Per scrivere ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(4 - x) x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(4 - x) x + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 18.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x - x \cdot x + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 18.5.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 x - (x \cdot x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5.3

Moltiplica ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 18.5.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5.3.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5.3.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{1}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5.4

Semplifica ${(8 x - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{4 x - x^{2} + 8 x - x^{2}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5.5

Somma $4 x$ e $8 x$ .

$\frac{- x^{2} + 12 x - x^{2}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5.6

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 12 x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5.7

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{2} + 12 x$ .

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Passaggio 18.5.7.1

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 12 x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5.7.2

Scomponi $2 x$ da $12 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5.7.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (- x) + 2 x (6)$ .

$\frac{2 x (- x + 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.7

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{2 x (- (x - 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.9

Riscrivi $- (x - 6)$ come $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 x) (x - 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$