Calcolo Esempi

$\ln (2 x^{0.5})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x^{0.5}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{0.5}$ .

$\frac{1}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{0.5}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$ .

$\frac{1}{2 x^{0.5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}])$

Passaggio 2.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.2.1

$2$ e $\frac{1}{2 x^{0.5}}$ .

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 0.5$ .

$\frac{1}{x^{0.5}} (0.5 x^{- 0.5})$

Passaggio 2.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.4.1

$0.5$ e $\frac{1}{x^{0.5}}$ .

$\frac{0.5}{x^{0.5}} x^{- 0.5}$

Passaggio 2.4.2

$\frac{0.5}{x^{0.5}}$ e $x^{- 0.5}$ .

$\frac{0.5 x^{- 0.5}}{x^{0.5}}$

Passaggio 2.4.3

Sposta $x^{- 0.5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0.5}{x^{0.5} x^{0.5}}$

Passaggio 3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $x^{0.5}$ per $x^{0.5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{0.5}{x^{0.5 + 0.5}}$

Passaggio 3.1.2

Somma $0.5$ e $0.5$ .

$\frac{0.5}{x^{1}}$

Passaggio 3.2

Semplifica $x^{1}$ .

$\frac{0.5}{x}$