Calcolo Esempi

$\ln (\csc (5 x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \csc (5 x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\csc (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\csc (5 x)$ .

$\frac{1}{\csc (5 x)} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Passaggio 2

Riscrivi $\csc (5 x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (5 x)}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Passaggio 3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (5 x)}$ .

$1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Passaggio 4

Moltiplica $\sin (5 x)$ per $1$ .

$\sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x$ .

$\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 5.2

La derivata di $\csc (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\sin (5 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 6.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \cdot 1)$

Passaggio 6.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riordina i fattori di $\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$ .

$- 5 \cot (5 x) \csc (5 x) \sin (5 x)$

Passaggio 7.2

Riscrivi $\cot (5 x)$ in termini di seno e coseno.

$- 5 \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Passaggio 7.3

$- 5$ e $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Passaggio 7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Passaggio 7.5

Riscrivi $\csc (5 x)$ in termini di seno e coseno.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)} \sin (5 x)$

Passaggio 7.6

Moltiplica $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$ .

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Passaggio 7.6.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (5 x)}$ per $\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Passaggio 7.6.2

Eleva $\sin (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Passaggio 7.6.3

Eleva $\sin (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)} \sin (5 x)$

Passaggio 7.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{{\sin (5 x)}^{1 + 1}} \sin (5 x)$

Passaggio 7.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Passaggio 7.7

Elimina il fattore comune di $\sin (5 x)$ .

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Passaggio 7.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$ nel numeratore.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Passaggio 7.7.2

Scomponi $\sin (5 x)$ da $\sin^{2} (5 x)$ .

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Passaggio 7.7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Passaggio 7.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Passaggio 7.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Passaggio 7.9

Frazioni separate.

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Passaggio 7.10

Converti da $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ a $\cot (5 x)$ .

$- (\frac{5}{1} \cot (5 x))$

Passaggio 7.11

Dividi $5$ per $1$ .

$- (5 \cot (5 x))$

Passaggio 7.12

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 \cot (5 x)$