Calcolo Esempi

$\log (\log (100000^{200 x}))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = \log (100000^{200 x})$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\log (100000^{200 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [\log (100000^{200 x})]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\log (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (100000^{200 x})]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\log (100000^{200 x})$ .

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (100000^{200 x})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = 100000^{200 x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $100000^{200 x}$ .

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [100000^{200 x}])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\log (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $100000^{200 x}$ .

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} (\frac{1}{100000^{200 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}])$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{1}{100000^{200 x} \ln (10)}$ per $\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)}$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln (10) (\log (100000^{200 x}) \ln (10))} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Passaggio 4

Eleva $\ln (10)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} (\ln^{1} (10) \ln (10)) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Passaggio 5

Eleva $\ln (10)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} (\ln^{1} (10) \ln^{1} (10)) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{100000^{200 x} {\ln (10)}^{1 + 1} \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 100000^{x}$ e $g (x) = 200 x$ .

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Passaggio 8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $200 x$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (\frac{d}{d u_{3}} [100000^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [200 x])$

Passaggio 8.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $100000$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (100000^{u_{3}} \ln (100000) \frac{d}{d x} [200 x])$

Passaggio 8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $200 x$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (100000^{200 x} \ln (100000) \frac{d}{d x} [200 x])$

Passaggio 9

Differenzia.

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Passaggio 9.1

$100000^{200 x}$ e $\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ .

$\frac{100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (\ln (100000) \frac{d}{d x} [200 x])$

Passaggio 9.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 9.2.1

$\ln (100000)$ e $\frac{100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ .

$\frac{\ln (100000) \cdot 100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [200 x]$

Passaggio 9.2.2

Elimina il fattore comune di $100000^{200 x}$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (100000) \cdot 100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [200 x]$

Passaggio 9.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [200 x]$

Passaggio 9.3

Poiché $200$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $200 x$ rispetto a $x$ è $200 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (200 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9.4

$200$ e $\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ .

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 9.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \cdot 1$

Passaggio 9.6

Moltiplica $\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ per $1$ .

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Espandi $\log (100000^{200 x})$ spostando $200 x$ fuori dal logaritmo.

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) (200 x \log (100000))}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune di $200$ .

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Passaggio 10.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) (200 x \log (100000))}$

Passaggio 10.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) (x \log (100000))}$

Passaggio 10.3

Il logaritmo in base $10$ di $100000$ è $5$ .

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) x \cdot 5}$

Passaggio 10.4

Sposta $5$ alla sinistra di $\ln^{2} (10) x$ .

$\frac{\ln (100000)}{5 \cdot (\ln^{2} (10) x)}$

Passaggio 10.5

Riordina i fattori in $\frac{\ln (100000)}{5 \ln^{2} (10) x}$ .

$\frac{\ln (100000)}{5 x \ln^{2} (10)}$