Calcolo Esempi

$\sin ({(π x)}^{4})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = {(π x)}^{4}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(π x)}^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(π x)}^{4}$ .

$\cos ({(π x)}^{4}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = π x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $π x$ .

$\cos ({(π x)}^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [π x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\cos ({(π x)}^{4}) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $π x$ .

$\cos ({(π x)}^{4}) (4 {(π x)}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos ({(π x)}^{4}) (4 {(π x)}^{3} (π \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos ({(π x)}^{4}) (4 {(π x)}^{3} (π \cdot 1))$

Passaggio 3.3

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\cos ({(π x)}^{4}) (4 {(π x)}^{3} π)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $π x$ .

$\cos (π^{4} x^{4}) (4 {(π x)}^{3} π)$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $π x$ .

$\cos (π^{4} x^{4}) (4 (π^{3} x^{3}) π)$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$\cos (π^{4} x^{4}) (4 x^{3} (π^{3} π^{1}))$

Passaggio 4.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (π^{4} x^{4}) (4 x^{3} π^{3 + 1})$

Passaggio 4.3.3

Somma $3$ e $1$ .

$\cos (π^{4} x^{4}) (4 x^{3} π^{4})$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori di $\cos (π^{4} x^{4}) (4 x^{3} π^{4})$ .

$4 π^{4} x^{3} \cos (π^{4} x^{4})$