Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} + c^{2}}{x^{2} - c^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + c^{2}$ e $g (x) = x^{2} - c^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + c^{2}] - (x^{2} + c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - c^{2}]}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + c^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [c^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - c^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [c^{2}]) - (x^{2} + c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - c^{2}]}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - c^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [c^{2}]) - (x^{2} + c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - c^{2}]}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $c^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - c^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - c^{2}]}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - c^{2}) (2 x) - (x^{2} + c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - c^{2}]}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - c^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - c^{2}) x - (x^{2} + c^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - c^{2}]}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - c^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- c^{2}]$ .

$\frac{2 (x^{2} - c^{2}) x - (x^{2} + c^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- c^{2}])}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - c^{2}) x - (x^{2} + c^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- c^{2}])}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $- c^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- c^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - c^{2}) x - (x^{2} + c^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - c^{2}) x - (x^{2} + c^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - c^{2}) x - 2 (x^{2} + c^{2}) x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- c^{2})) x - 2 (x^{2} + c^{2}) x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- c^{2}) x - 2 (x^{2} + c^{2}) x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- c^{2}) x + (- 2 x^{2} - 2 c^{2}) x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- c^{2}) x - 2 x^{2} x - 2 c^{2} x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Combina i termini opposti in $2 x^{2} x + 2 (- c^{2}) x - 2 x^{2} x - 2 c^{2} x$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Sottrai $2 x^{2} x$ da $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 (- c^{2}) x + 0 - 2 c^{2} x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Somma $2 (- c^{2}) x$ e $0$ .

$\frac{2 (- c^{2}) x - 2 c^{2} x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 c^{2} x - 2 c^{2} x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Sottrai $2 c^{2} x$ da $- 2 c^{2} x$ .

$\frac{- 4 c^{2} x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 c^{2} x}{{(x^{2} - c^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.7

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.7.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = c$ .

$- \frac{4 c^{2} x}{{((x + c) (x - c))}^{2}}$

Passaggio 3.7.2

Applica la regola del prodotto a $(x + c) (x - c)$ .

$- \frac{4 c^{2} x}{{(x + c)}^{2} {(x - c)}^{2}}$