Calcolo Esempi

$f (x) = (7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \ln (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x]$

Passaggio 2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x]$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{4}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $4$ per $7$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.7

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.8

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6 \cdot 1)$

Passaggio 3.10

Moltiplica $6$ per $1$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 x^{4} \frac{1}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6)$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$7 x^{4} \frac{1}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

$7$ e $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{7}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.2

$x^{4}$ e $\frac{7}{x}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 7}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.3

Sposta $7$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$\frac{7 \cdot x^{4}}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $x$ da $7 x^{4}$ .

$\frac{x (7 x^{3})}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x (7 x^{3})}{x^{1}} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x (7 x^{3})}{x \cdot 1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (7 x^{3})}{x \cdot 1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7 x^{3}}{1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.4.2.5

Dividi $7 x^{3}$ per $1$ .

$7 x^{3} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.5

$- 5$ e $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{3} + x^{3} \frac{- 5}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.6

$x^{3}$ e $\frac{- 5}{x}$ .

$7 x^{3} + \frac{x^{3} \cdot - 5}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.7

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$7 x^{3} + \frac{- 5 \cdot x^{3}}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.8

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Scomponi $x$ da $- 5 x^{3}$ .

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x^{1}} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.8.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x \cdot 1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.8.2.3

Elimina il fattore comune.

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x \cdot 1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.8.2.4

Riscrivi l'espressione.

$7 x^{3} + \frac{- 5 x^{2}}{1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.8.2.5

Dividi $- 5 x^{2}$ per $1$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.9

$6$ e $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + x \frac{6}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.10

$x$ e $\frac{6}{x}$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.11

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{6 \cdot x}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.12

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.12.1

Elimina il fattore comune.

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{6 x}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.12.2

Dividi $6$ per $1$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Passaggio 4.3.13

Sposta $6$ alla sinistra di $\ln (x)$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + 6 \ln (x)$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 28 x^{3} \ln (x) - 15 x^{2} \ln (x) + 6 \ln (x) + 6$