Calcolo Esempi

$f (x) = (4 x^{2} - x) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 4 x^{2} - x$ e $g (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 12$ .

$(4 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8 x^{2} + 12] + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 8 x^{2} + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$(4 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Passaggio 2.6

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x + 0) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Passaggio 2.7

Somma $3 x^{2} - 16 x$ e $0$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.11

Moltiplica $2$ per $4$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $1$ da $(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1$ da $(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x)$ .

$1 ((4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x)) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $1$ da $(x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$ .

$1 ((4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x)) + 1 ((x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1))$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $1$ da $1 ((4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x)) + 1 ((x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1))$ .

$1 ((4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1))$

Passaggio 3.2

Moltiplica $(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$ per $1$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$(3 x^{2} - 16 x) (4 x^{2} - x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Espandi $(3 x^{2} - 16 x) (4 x^{2} - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} (4 x^{2} - x) - 16 x (4 x^{2} - x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} (4 x^{2}) + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2} - x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} (4 x^{2}) + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$3 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \cdot 4 x^{2 + 2} + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$3 \cdot 4 x^{4} + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{4} + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} x - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{1 + 2} - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{3} - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 x \cdot x^{2} - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.8

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.8.1

Sposta $x^{2}$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 (x^{2} x) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 x^{2 + 1} - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.8.3

Somma $2$ e $1$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 x^{3} - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.9

Moltiplica $- 16$ per $4$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.10

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} - 16 \cdot - 1 x \cdot x + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.11

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.11.1

Sposta $x$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} - 16 \cdot - 1 (x \cdot x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.11.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} - 16 \cdot - 1 x^{2} + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.1.12

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} + 16 x^{2} + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $64 x^{3}$ da $- 3 x^{3}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Passaggio 3.4.3

Espandi $(8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 (x^{3} x) + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 (x^{3} x^{1}) + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3 + 1} + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4.1.3

Somma $3$ e $1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 x \cdot x^{2} + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 (x^{2} x) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 (x^{2} x^{1}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 x^{2 + 1} + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 x^{3} + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4.4

Moltiplica $8$ per $- 8$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4.5

Moltiplica $12$ per $8$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 96 x - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4.6

Riscrivi $- 1 x^{3}$ come $- x^{3}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 96 x - x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4.7

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 96 x - x^{3} + 8 x^{2} - 1 \cdot 12$

Passaggio 3.4.4.8

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 96 x - x^{3} + 8 x^{2} - 12$

Passaggio 3.4.5

Sottrai $x^{3}$ da $- 64 x^{3}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 65 x^{3} + 96 x + 8 x^{2} - 12$

Passaggio 3.5

Somma $12 x^{4}$ e $8 x^{4}$ .

$20 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} - 65 x^{3} + 96 x + 8 x^{2} - 12$

Passaggio 3.6

Sottrai $65 x^{3}$ da $- 67 x^{3}$ .

$20 x^{4} - 132 x^{3} + 16 x^{2} + 96 x + 8 x^{2} - 12$

Passaggio 3.7

Somma $16 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$20 x^{4} - 132 x^{3} + 24 x^{2} + 96 x - 12$