Calcolo Esempi

$f (x) = {(5 x + 7)}^{2} (e^{x})$

Passaggio 1

Riscrivi ${(5 x + 7)}^{2}$ come $(5 x + 7) (5 x + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(5 x + 7) (5 x + 7) e^{x}]$

Passaggio 2

Espandi $(5 x + 7) (5 x + 7)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x + 7) + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x + 7)) e^{x}]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(5 x (5 x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [(5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 5 x \cdot 7 + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $7$ per $5$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 7 (5 x) + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $5$ per $7$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 7 \cdot 7) e^{x}]$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $7$ per $7$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 35 x + 35 x + 49) e^{x}]$

Passaggio 3.2

Somma $35 x$ e $35 x$ .

$\frac{d}{d x} [(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [25 x^{2} + 70 x + 49]$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 x^{2} + 70 x + 49$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Passaggio 6.2

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25 x^{2}$ rispetto a $x$ è $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Passaggio 6.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Passaggio 6.4

Moltiplica $2$ per $25$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + \frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Passaggio 6.5

Poiché $70$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $70 x$ rispetto a $x$ è $70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

Passaggio 6.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

Passaggio 6.7

Moltiplica $70$ per $1$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + \frac{d}{d x} [49])$

Passaggio 6.8

Poiché $49$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $49$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70 + 0)$

Passaggio 6.9

Somma $50 x + 70$ e $0$ .

$(25 x^{2} + 70 x + 49) e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x + 70)$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + e^{x} \cdot 70$

Passaggio 7.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.3.1

Sposta $70$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 49 e^{x} + e^{x} (50 x) + 70 \cdot e^{x}$

Passaggio 7.3.2

Somma $70 x e^{x}$ e $e^{x} (50 x)$ .

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Passaggio 7.3.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 70 x e^{x} + 50 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

Passaggio 7.3.2.2

Somma $70 x e^{x}$ e $50 x e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 49 e^{x} + 70 e^{x}$

Passaggio 7.3.3

Somma $49 e^{x}$ e $70 e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$

Passaggio 7.4

Riordina i termini.

$25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$

Passaggio 7.5

Riordina i fattori in $25 e^{x} x^{2} + 120 e^{x} x + 119 e^{x}$ .

$25 x^{2} e^{x} + 120 x e^{x} + 119 e^{x}$