Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x}{x + \sqrt{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x + x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{(x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(x + x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x + x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11

$2$ e $\frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x + x^{\frac{1}{2}} - x \cdot 1 - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x \cdot 1) + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.3

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 (- \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 \frac{- x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 \frac{- x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + \frac{- x}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.5

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.6

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.3.1.6.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - (x^{- \frac{1}{2}} x)}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.6.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 12.3.1.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{- \frac{1}{2} + 1}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.6.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.1.6.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.2

Combina i termini opposti in $2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 12.3.2.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 0 - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.2.2

Somma $2 x^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.3.3

Sottrai $x^{\frac{1}{2}}$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 12.4.1

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 12.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{1} + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.4.1.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{1}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 12.4.1.3

Moltiplica per $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1)}^{2}}$

Passaggio 12.4.1.4

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1))}^{2}}$

Passaggio 12.4.2

Applica la regola del prodotto a $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 12.4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 12.4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 12.4.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.4.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 12.4.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 12.4.4

Semplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 12.5

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.6

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.6.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 12.6.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 12.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 12.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + 1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 12.6.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 12.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 12.6.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$