Calcolo Esempi

$f (x) = {(2 x - 7)}^{10} \cos (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(2 x - 7)}^{10}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

${(2 x - 7)}^{10} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{10}]$

Passaggio 2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{10}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{10}$ e $g (x) = 2 x - 7$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 10$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 u^{9} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Passaggio 4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Passaggio 4.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 + 0))$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $2$ e $0$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} \cdot 2)$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $2$ per $10$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (20 {(2 x - 7)}^{9})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i termini.

$- {(2 x - 7)}^{10} \sin (x) + 20 {(2 x - 7)}^{9} \cos (x)$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori in $- {(2 x - 7)}^{10} \sin (x) + 20 {(2 x - 7)}^{9} \cos (x)$ .

$- \sin (x) {(2 x - 7)}^{10} + 20 \cos (x) {(2 x - 7)}^{9}$