Calcolo Esempi

$6 x^{2} \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2} \cos (x) \cot (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) \cot (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) \cot (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} \cos (x)$ e $g (x) = \cot (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)])$

Passaggio 3

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x))) + \cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x))) + 6 (\cot (x) (x^{2} (- \sin (x)))) + 6 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Passaggio 7.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 (x^{2} \cos (x) (\csc^{2} (x))) + 6 (\cot (x) (x^{2} (- \sin (x)))) + 6 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 x^{2} \cos (x) \csc^{2} (x) - 6 (\cot (x) x^{2} (\sin (x))) + 6 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$- 6 x^{2} \cos (x) \csc^{2} (x) - 6 \cot (x) x^{2} \sin (x) + 12 \cot (x) \cos (x) x$

Passaggio 7.4

Riordina i termini.

$- 6 x^{2} \csc^{2} (x) \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 7.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.5.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$- 6 x^{2} {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 7.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- 6 x^{2} \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 7.5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 6 x^{2} \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 7.5.4

Moltiplica $- 6 x^{2} \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

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Passaggio 7.5.4.1

$- 6$ e $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$x^{2} \frac{- 6}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 7.5.4.2

$x^{2}$ e $\frac{- 6}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 7.5.5

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{- 6 \cdot x^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 7.5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6 \cdot x^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 7.5.7

$\cos (x)$ e $\frac{6 x^{2}}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) (6 x^{2})}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 7.5.8

Sposta $6$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$- \frac{6 \cdot \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 7.5.9

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 7.5.9.1

Aggiungi le parentesi.

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} (\cot (x) \sin (x)) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 7.5.9.2

Riscrivi $- 6 x^{2} \cot (x) \sin (x)$ in termini di seno e coseno.

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 7.5.9.3

Elimina i fattori comuni.

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + 12 x \cos (x) \cot (x)$

Passaggio 7.5.10

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + 12 x \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.11

Moltiplica $12 x \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Passaggio 7.5.11.1

$12$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + x \cos (x) \frac{12 \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.11.2

$\frac{12 \cos (x)}{\sin (x)}$ e $x$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 \cos (x) x}{\sin (x)} \cos (x)$

Passaggio 7.5.11.3

$\frac{12 \cos (x) x}{\sin (x)}$ e $\cos (x)$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 \cos (x) x \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.11.4

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.11.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.11.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Passaggio 7.5.11.7

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.6.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{6 \cos (x) x^{2}}{\sin (x) \sin (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6.2

Frazioni separate.

$- (\frac{6 x^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6.3

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$- (\frac{6 x^{2}}{\sin (x)} \cot (x)) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6.4

$\frac{6 x^{2}}{\sin (x)}$ e $\cot (x)$ .

$- \frac{6 x^{2} \cot (x)}{\sin (x)} - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6.5

Frazioni separate.

$- (\frac{6 x^{2}}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\sin (x)}) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6.6

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$- (\frac{6 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6.7

Riscrivi $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ come un prodotto.

$- (\frac{6 x^{2}}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6.8

Semplifica.

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Passaggio 7.6.8.1

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$- (\frac{6 x^{2}}{1} (\cot (x) \frac{1}{\sin (x)})) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6.8.2

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$- (\frac{6 x^{2}}{1} (\cot (x) \csc (x))) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6.9

Dividi $6 x^{2}$ per $1$ .

$- (6 x^{2} (\cot (x) \csc (x))) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6.10

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 (x^{2} (\cot (x) \csc (x))) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6.11

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$- 6 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x (\cos (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6.12

Frazioni separate.

$- 6 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x (\cos (x))}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.6.13

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$- 6 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 6 x^{2} \cos (x) + \frac{12 x (\cos (x))}{1} \cot (x)$

Passaggio 7.6.14

Dividi $12 x (\cos (x))$ per $1$ .

$- 6 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 6 x^{2} \cos (x) + 12 x (\cos (x)) \cot (x)$

$- 6 x^{2} \cot (x) \csc (x) - 6 x^{2} \cos (x) + 12 x (\cos (x)) \cot (x)$