Calcolo Esempi

$63 x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}$

Passaggio 1

Poiché $63$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $63 x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}$ rispetto a $x$ è $63 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}]$ .

$63 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(3 x^{3} + 7)}^{6}$ .

$63 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} + 7)}^{6}] + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = 3 x^{3} + 7$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{3} + 7$ .

$63 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$63 (x^{2} (6 u^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{3} + 7$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.5

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2} + 0)) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $9 x^{2}$ e $0$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2})) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $9$ per $6$ .

$63 (x^{2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5} x^{2}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $x^{2}$ .

$63 (x^{2} x^{2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$63 (x^{2 + 2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5.3

Somma $2$ e $2$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} (2 x))$

Passaggio 7

Sposta $2$ alla sinistra di ${(3 x^{3} + 7)}^{6}$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + 2 \cdot {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5})) + 63 (2 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $54$ per $63$ .

$3402 (x^{4} ({(3 x^{3} + 7)}^{5})) + 63 (2 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Passaggio 8.3

Moltiplica $2$ per $63$ .

$3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5} + 126 ({(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Passaggio 8.4

Scomponi $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ da $3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5} + 126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$ .

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Passaggio 8.4.1

Scomponi $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ da $3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$

Passaggio 8.4.2

Scomponi $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ da $126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 x^{3} + 7)$

Passaggio 8.4.3

Scomponi $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ da $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 x^{3} + 7)$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3} + 3 x^{3} + 7)$

Passaggio 8.5

Somma $27 x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (30 x^{3} + 7)$