Calcolo Esempi

$arccsc (\frac{x}{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = arccsc (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $arccsc (u)$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 2

$\frac{x}{2}$ e $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$- \frac{1}{\frac{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{2}$ .

$- (1 \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ per $1$ .

$- \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{2}{2 (x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1})} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{2 x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \cdot 1$

Passaggio 8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - 1}}$

Passaggio 9.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - 1}}$