Calcolo Esempi

$\arccos (\sqrt{1 - x^{2}})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - x^{2}}$ come ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arccos ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arccos (x)$ e $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\arccos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{1}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Semplifica.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 10.3

Sposta ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 10.4

Moltiplica $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 11

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 12

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 13

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 15

Moltiplica.

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Passaggio 15.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 15.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (2 x)$

Passaggio 17

Semplifica i termini.

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Passaggio 17.1

$2$ e $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} x$

Passaggio 17.2

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

Passaggio 17.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

Passaggio 17.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 \cdot 1 - - x^{2}}}$

Passaggio 18.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 18.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 - - x^{2}}}$

Passaggio 18.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + 1 x^{2}}}$

Passaggio 18.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + x^{2}}}$

Passaggio 18.2.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{0 + x^{2}}}$

Passaggio 18.2.5

Somma $0$ e $x^{2}$ .

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2}}}$

Passaggio 18.2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 18.2.7

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 18.2.8

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$