Calcolo Esempi

$\arctan (\frac{y}{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{y}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{y}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{y}{x}$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} (y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.2.1

$y$ e $\frac{1}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

Passaggio 2.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.4.1

$\frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ e $x^{- 2}$ .

$- \frac{y x^{- 2}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{y}{(1 + {(\frac{y}{x})}^{2}) x^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{y}{(1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{y}{1 x^{2} + \frac{y^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Passaggio 3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Passaggio 3.3.2

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{y}{x^{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 3.3.3.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$