Calcolo Esempi

$\arctan (\frac{x}{y})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$ per $1$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{y (1 + \frac{x^{2}}{y^{2}})}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

Passaggio 3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{1}{y + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

Passaggio 3.3.2

$y$ e $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y^{2}}}$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{2}$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $y$ da $y x^{2}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y^{2}}}$

Passaggio 3.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y \cdot y}}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y \cdot y}}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + \frac{x^{2}}{y}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.1

Per scrivere $y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{x^{2}}{y}}$

Passaggio 3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{y \cdot y + x^{2}}{y}}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{1}{\frac{y^{2} + x^{2}}{y}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ per $1$ .

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$