Calcolo Esempi

$\arctan (\frac{x}{a})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{a}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{a}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{a}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{a}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{a}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}} (\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{a}$ per $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{a})}^{2}}$ .

$\frac{1}{a (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{a (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})} \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $\frac{1}{a (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})}$ per $1$ .

$\frac{1}{a (1 + {(\frac{x}{a})}^{2})}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{a}$ .

$\frac{1}{a (1 + \frac{x^{2}}{a^{2}})}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{a \cdot 1 + a \frac{x^{2}}{a^{2}}}$

Passaggio 3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $a$ per $1$ .

$\frac{1}{a + a \frac{x^{2}}{a^{2}}}$

Passaggio 3.3.2

$a$ e $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ .

$\frac{1}{a + \frac{a x^{2}}{a^{2}}}$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune di $a$ e $a^{2}$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $a$ da $a x^{2}$ .

$\frac{1}{a + \frac{a (x^{2})}{a^{2}}}$

Passaggio 3.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Scomponi $a$ da $a^{2}$ .

$\frac{1}{a + \frac{a (x^{2})}{a \cdot a}}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{a + \frac{a x^{2}}{a \cdot a}}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{a + \frac{x^{2}}{a}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.1

Per scrivere $a$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{a}{a}$ .

$\frac{1}{\frac{a \cdot a}{a} + \frac{x^{2}}{a}}$

Passaggio 3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{a \cdot a + x^{2}}{a}}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $a$ per $a$ .

$\frac{1}{\frac{a^{2} + x^{2}}{a}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \frac{a}{a^{2} + x^{2}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $\frac{a}{a^{2} + x^{2}}$ per $1$ .

$\frac{a}{a^{2} + x^{2}}$