Calcolo Esempi

$\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{9}{x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{9}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\arctan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{9}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Passaggio 2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9}{x}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (- 9 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Passaggio 2.6

$- 9$ e $\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Passaggio 2.7

$\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ e $x^{- 2}$ .

$\frac{- 9 x^{- 2}}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Passaggio 2.8

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Passaggio 2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{3}{x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\arctan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 (- x^{- 2}))$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (- 3 x^{- 2})$

Passaggio 3.6

$- 3$ e $\frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} x^{- 2}$

Passaggio 3.7

$\frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ e $x^{- 2}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3 x^{- 2}}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$

Passaggio 3.8

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Passaggio 3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Passaggio 4.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Passaggio 4.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Passaggio 4.5.3

$\frac{81}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Passaggio 4.5.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 4.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Passaggio 4.5.4.2

Dividi $81$ per $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Passaggio 4.5.5

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Passaggio 4.5.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9}{x^{2}} x^{2}}$

Passaggio 4.5.7

$\frac{9}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 4.5.8

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 4.5.8.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 4.5.8.2

Dividi $9$ per $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

Passaggio 4.5.9

Per scrivere $- \frac{9}{x^{2} + 81}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

Passaggio 4.5.10

Per scrivere $- \frac{3}{x^{2} + 9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

Passaggio 4.5.11

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.5.11.1

Moltiplica $\frac{9}{x^{2} + 81}$ per $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

Passaggio 4.5.11.2

Moltiplica $\frac{3}{x^{2} + 9}$ per $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)}$

Passaggio 4.5.11.3

Riordina i fattori di $(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Passaggio 4.5.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 9 (x^{2} + 9) - 3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Passaggio 4.6

Riordina i termini.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.7.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)$ .

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Passaggio 4.7.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 9 (x^{2} + 9)$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Passaggio 4.7.1.2

Scomponi $- 3$ da $- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Passaggio 4.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 3 \cdot 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Passaggio 4.7.3

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Passaggio 4.7.4

Somma $x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 81 + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Passaggio 4.7.5

Somma $81$ e $27$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Passaggio 4.7.6

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 108$ .

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Passaggio 4.7.6.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{- 3 (4 (x^{2}) + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Passaggio 4.7.6.2

Scomponi $4$ da $108$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 4 \cdot 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Passaggio 4.7.6.3

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4 \cdot 27$ .

$\frac{- 3 (4 (x^{2} + 27))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

$\frac{- 3 \cdot 4 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Passaggio 4.7.7

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{- 12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Passaggio 4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$