Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Passaggio 1.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Passaggio 1.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $2^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2^{x} \ln (2)}$

Passaggio 2

Sposta il termine $\frac{2}{\ln (2)}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Passaggio 3.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Passaggio 3.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $2^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x} \ln (2)}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{1}{\ln (2)}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x}}$

Passaggio 5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{2^{x}}$ tende a $0$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)}$ .

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica $\frac{2}{\ln (2)}$ per $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2) \ln (2)} \cdot 0$

Passaggio 6.1.2

Eleva $\ln (2)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot 0$

Passaggio 6.1.3

Eleva $\ln (2)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot 0$

Passaggio 6.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{\ln^{2} (2)} \cdot 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{2}{\ln^{2} (2)}$ per $0$ .

$0$