Calcolo Esempi

$\arctan (x - 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x - 1$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + 0)$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \cdot 1$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riordina i termini.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2} + 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) (x - 1) + 1}$

Passaggio 3.2.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x (x - 1) - 1 (x - 1) + 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1}$

Passaggio 3.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1}{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 3.2.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - x + 1 + 1}$

Passaggio 3.2.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1 + 1}$

Passaggio 3.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 2}$